Comprendre la fonction logarithme
Le logarithme népérien est la fonction qui « défait » ce que fait l'exponentielle. Comprendre ce lien résout la plupart des difficultés du chapitre.
Le logarithme népérien, noté ln, est défini comme la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x pour tout réel x, et e^(ln(x)) = x pour tout x > 0. Concrètement, ln(x) répond à la question « à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir x ? ». C'est pour cette raison que ln n'est défini que pour des nombres strictement positifs — l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative ou nulle.
Parce qu'il « défait » l'exponentielle, le logarithme transforme les produits en sommes : ln(a × b) = ln(a) + ln(b). C'est la propriété la plus utilisée pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant, ou pour simplifier une expression avant de la dériver.
Sa dérivée est ln'(x) = 1/x, définie et strictement positive pour tout x > 0 : la fonction logarithme est donc strictement croissante sur tout son domaine, et tend vers −∞ quand x tend vers 0.
- !Essayer de calculer
lnd'un nombre négatif ou nul : la fonction n'est tout simplement pas définie dans ce cas, et l'équation ou l'inéquation n'a pas de solution de ce côté. - !Confondre
ln(a) + ln(b) = ln(a × b)avecln(a + b): le logarithme d'une somme ne se simplifie pas en général. - !Oublier de vérifier le domaine de définition avant de résoudre une équation avec
ln: une solution trouvée par le calcul peut être à exclure si elle rend un argument négatif.
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Pourquoi le logarithme n'est-il défini que pour x > 0 ?
Parce que c'est la réciproque de l'exponentielle, qui ne prend que des valeurs strictement positives. Il ne peut donc exister de « puissance de e » qui donne un nombre négatif ou nul.