Réviser la loi binomiale
La loi binomiale compte le nombre de succès quand on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues, dans les mêmes conditions et indépendamment.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : succès (avec une probabilité p) ou échec (avec une probabilité 1 − p). Un tirage à pile ou face, un tir au but réussi ou raté, un composant défectueux ou non : autant de situations qui suivent ce modèle.
Quand on répète n fois la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante et dans les mêmes conditions, le nombre total de succès obtenus suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). La probabilité d'obtenir exactement k succès se calcule avec une formule qui combine le nombre de façons d'organiser ces k succès parmi les n épreuves.
L'espérance d'une loi binomiale est E(X) = n × p : en moyenne, sur n répétitions, on obtient n × p succès. C'est le résultat le plus utile pour interpréter concrètement une situation, au-delà du calcul de probabilité exacte.
- !Utiliser la loi binomiale alors que les épreuves ne sont pas indépendantes (tirages successifs sans remise, par exemple) : la formule ne s'applique alors plus directement.
- !Se tromper dans le repérage de
n(le nombre de répétitions) etp(la probabilité de succès d'une seule épreuve) au moment de poser le modèle. - !Oublier que la loi binomiale compte un nombre de succès sur des épreuves identiques : chaque situation ne rentre pas automatiquement dans ce modèle sans vérification des conditions.
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Comment reconnaître qu'une situation suit une loi binomiale ?
Il faut trois conditions réunies : une répétition d'un nombre fixé d'épreuves, chaque épreuve n'ayant que deux issues (succès/échec), avec la même probabilité de succès à chaque fois, et des épreuves indépendantes les unes des autres.