Comprendre la fonction exponentielle
L'exponentielle est la seule fonction dont la vitesse de croissance est égale à sa propre valeur. Cette unique propriété explique tout le reste du chapitre.
Il existe une unique fonction, notée exp, qui vérifie deux conditions : exp(0) = 1 et sa dérivée est égale à elle-même (exp'(x) = exp(x)). Cette propriété — être sa propre dérivée — n'appartient qu'à cette fonction (à un facteur multiplicatif près), et c'est ce qui la rend si utile pour modéliser une croissance dont la vitesse dépend de la quantité déjà atteinte : population, épidémie, intérêts composés, radioactivité.
On note eˣ la valeur de exp en x, avec e = exp(1) ≈ 2,718. La propriété la plus utile au quotidien est la relation fonctionnelle : e^(a+b) = eᵃ × eᵇ. Elle transforme une addition dans l'exposant en une multiplication — exactement comme les puissances de 10, mais avec une base irrationnelle.
La fonction exponentielle est strictement positive sur tout ℝ, strictement croissante, et croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction polynôme quand x devient grand : c'est la « croissance comparée » qui revient en Terminale.
- !Écrire
e^(a+b) = eᵃ + eᵇ: c'est faux, la relation fonctionnelle transforme une somme en produit, pas l'inverse. - !Oublier que
eˣest toujours strictement positif : une équation du typeeˣ = −3n'a donc jamais de solution. - !Confondre
(eˣ)' = eˣavec la dérivée d'une exponentielle composée(e^(u(x)))' = u'(x) × e^(u(x)), qui nécessite la dérivée deu.
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Pourquoi dit-on que exp est sa propre dérivée ?
C'est la définition même de la fonction : exp est LA fonction (à une constante près) telle que sa vitesse de variation en chaque point est égale à sa valeur en ce point. Aucune autre fonction usuelle n'a cette propriété.