Réviser le second degré
Une expression du second degré peut s'écrire sous trois formes différentes qui disent exactement la même chose. Le vrai savoir-faire, c'est de choisir la bonne selon la question posée.
Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa courbe est toujours une parabole : tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. Cette même fonction admet trois écritures équivalentes : la forme développée (celle du départ), la forme canonique a(x − α)² + β (qui donne directement le sommet de la parabole), et la forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) (qui donne directement les racines, quand elles existent).
Pour savoir si des racines existent, on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. S'il est strictement positif, il y a deux racines distinctes. S'il est nul, une seule racine (dite double). S'il est strictement négatif, aucune racine réelle : la parabole ne touche jamais l'axe des abscisses.
Le sommet de la parabole a pour abscisse α = −b / (2a) : c'est le minimum de la fonction si a > 0, son maximum si a < 0. C'est l'information la plus demandée dans les problèmes d'optimisation (aire maximale, coût minimal…).
- !Chercher les racines avec le discriminant alors que la factorisation évidente (facteur commun, identité remarquable) suffit et va plus vite.
- !Oublier le signe de
aen interprétant le sommet : unanégatif donne un maximum, pas un minimum. - !Confondre Δ = 0 (une racine, la parabole touche l'axe en un seul point) et Δ < 0 (aucune racine, la parabole ne touche jamais l'axe).
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Ce qu'on te demande le plus.
Faut-il toujours calculer le discriminant ?
Non. Si l'expression est déjà factorisable simplement (facteur commun, différence de deux carrés), c'est plus rapide de factoriser directement plutôt que de calculer Δ.