Comprendre les suites numériques
Une suite, c'est juste une liste de nombres numérotés — u₀, u₁, u₂… La difficulté vient rarement de la définition, mais de la confusion entre les deux façons de la décrire.
Une suite numérique est une liste infinie de nombres, indexés par des entiers : le premier terme s'appelle u₀ (ou parfois u₁), le suivant u₁, et ainsi de suite. On peut la voir comme une fonction qui prend un entier n en entrée et renvoie un nombre uₙ — sauf que l'entrée ne peut être qu'un entier, jamais une valeur intermédiaire comme 2,5.
Il existe deux familles principales au programme de Première. Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (la raison, notée r) : uₙ₊₁ = uₙ + r. Elle est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre (la raison, notée q) : uₙ₊₁ = q × uₙ. La première grandit en ligne droite, la seconde s'accélère (ou s'écrase) exponentiellement.
Une suite peut aussi être définie de deux façons différentes : par une formule explicite (uₙ calculable directement en fonction de n, sans connaître les termes précédents), ou par une relation de récurrence (uₙ₊₁ calculé à partir de uₙ, ce qui oblige à connaître tous les termes précédents pour arriver au suivant). Beaucoup d'erreurs viennent d'un mélange entre les deux formes.
- !Confondre la raison arithmétique (on ajoute) et la raison géométrique (on multiplie) — vérifier systématiquement
uₙ₊₁ − uₙ(constant ⟹ arithmétique) ouuₙ₊₁ / uₙ(constant ⟹ géométrique) avant de choisir une formule. - !Utiliser une formule explicite alors que la suite n'est donnée que par récurrence (ou l'inverse) : les deux formes ne se substituent pas automatiquement l'une à l'autre.
- !Oublier qu'une suite géométrique de raison négative change de signe à chaque terme, ou qu'une raison entre 0 et 1 fait décroître la suite vers 0 plutôt que croître.
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Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?
Calcule la différence entre deux termes consécutifs (uₙ₊₁ − uₙ) : si elle est constante, la suite est arithmétique. Sinon, calcule le quotient (uₙ₊₁ / uₙ) : s'il est constant, elle est géométrique.
Une suite peut-elle n'être ni arithmétique ni géométrique ?
Oui, la plupart des suites ne rentrent dans aucune des deux catégories — mais ce sont les deux seules dont le programme de Première exige la formule explicite.