Comprendre les probabilités conditionnelles
Une probabilité conditionnelle répond à une question précise : sachant qu'un événement s'est déjà produit, quelle est la probabilité qu'un autre se produise ? L'information change tout le calcul.
La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P_B(A), est la probabilité que A se réalise une fois qu'on sait déjà que `B` s'est réalisé. On la calcule avec P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) : la part de A qui se trouve dans B, ramenée à la taille de B.
L'arbre pondéré est l'outil pour organiser une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité ; la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1 ; et la probabilité de suivre un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées sur ce chemin.
Deux événements A et B sont indépendants quand savoir que l'un s'est produit ne change rien à la probabilité de l'autre : P_B(A) = P(A). C'est une propriété à démontrer, jamais à supposer sans preuve — même si intuitivement deux événements semblent sans rapport.
- !Confondre
P_B(A)(sachant B, la probabilité de A) etP_A(B)(sachant A, la probabilité de B) : ce ne sont pas les mêmes nombres. - !Oublier de vérifier que la somme des probabilités partant d'un même nœud de l'arbre vaut bien 1 avant de continuer les calculs.
- !Affirmer que deux événements sont indépendants sans avoir vérifié l'égalité P_B(A) = P(A) par le calcul.
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Comment lire un arbre pondéré ?
Chaque niveau de l'arbre représente une étape de l'expérience. Pour la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités rencontrées ; pour la probabilité totale d'un événement, on additionne les chemins qui y mènent.