Réviser le produit scalaire
Le produit scalaire transforme deux vecteurs (deux flèches) en un seul nombre. Ce nombre dit si les deux vecteurs pointent dans des directions proches, opposées, ou perpendiculaires.
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, noté u·v, est un nombre (pas un vecteur). Il existe plusieurs façons de le calculer selon les informations disponibles : avec des coordonnées (x ; y) et (x' ; y'), u·v = x·x' + y·y' — un simple calcul, sans angle à connaître.
Si l'on connaît les longueurs des deux vecteurs et l'angle entre eux, on utilise u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ). Cette formule explique le lien le plus important du chapitre : deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul — car cos(90°) = 0.
Le produit scalaire sert aussi à calculer des longueurs (via u·u = ‖u‖²) et à démontrer des orthogonalités sans transporteur ni équerre : uniquement par le calcul, ce qui le rend indispensable en géométrie repérée.
- !Utiliser la formule avec l'angle alors qu'on n'a que des coordonnées — la formule
x·x' + y·y'est presque toujours la plus rapide quand les coordonnées sont connues. - !Oublier que le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires vaut 0, pas que l'un des deux vecteurs est nul.
- !Confondre le produit scalaire (un nombre) avec une multiplication de vecteurs qui donnerait un vecteur — cette opération-là n'existe pas au programme du lycée.
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Comment prouver que deux droites sont perpendiculaires avec le produit scalaire ?
Calcule les vecteurs directeurs des deux droites, puis leur produit scalaire avec la formule des coordonnées. S'il est nul, les droites sont perpendiculaires.